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Als '''Prämisse''' ( '''' ?das Vorausgeschickte?) oder '''Vordersatz''' bezeichnet man in der eine Voraussetzung oder Annahme. Sie ist eine , aus der eine logische gezogen wird.

Aus ?Alle Menschen sind sterblich?

und ?Alle Griechen sind Menschen?

folgt ?Alle Griechen sind sterblich?.

Die beiden erstgenannten Aussagen sind dabei die Prämissen, die letztgenannte Aussage ist die oder Schlussfolgerung.

Prämissen und Wahrheit

Sind die Prämissen in einem gültigen Schluss wahr, muss auch die Konklusion wahr sein. Ein Beispiel hierfür ist der obengenannte Schluss, dass aus ?Alle Menschen sind sterblich? und ?Sokrates ist ein Mensch? folgt ?Sokrates ist sterblich?. Das Umgekehrte gilt jedoch nicht: Sind die Prämissen (oder einige der Prämissen) falsch, gilt nicht notwendigerweise, dass die Konklusion falsch ist. Beispielsweise folgt aus ?Alle Menschen sind Griechen? und ?Sokrates ist ein Mensch? der Satz ?Sokrates ist Grieche?. Hier ist eine Prämisse falsch, dennoch ist die Konklusion wahr.

Prämissen brauchen also nicht unbedingt wahr zu sein. Im Gegenteil setzt man gelegentlich Prämissen, von denen man genau weiß, dass sie falsch sind. Dies ist z. B. bei der des der Fall, bei welcher von einer falschen Annahme ausgegangen wird mit dem Ziel, diese zu widerlegen. Das vielleicht bekannteste Beispiel für einen indirekten Beweis ist der , bei dem bewiesen wird, dass es viele en gibt.

Philosophiegeschichte

Der Terminus ?Prämisse? geht zurück auf die lateinische Übertragung der arabischen Literatur zur ''. Band 7, Schwabe, Basel 1972, Sp. 1255?1256, hier: S. 1255.</ref>

Symbolische Darstellung

Symbolisch wird eine Schlussfolgerung wie folgt dargestellt:

<math>\{\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \ldots, \mathrm{A}_n\} \vdash \mathrm{B}</math>

Lies: Aus <math>\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \ldots, \mathrm{A}_n</math> folgt <math>\mathrm{B}</math>.

Eine Schlussfolgerung kann also mehrere Prämissen haben; man geht jedoch gewöhnlich davon aus, dass sie nur eine Konklusion hat. Dies ist aber im Grunde Konvention, es gibt keinen prinzipiellen Grund, warum eine Schlussfolgerung nicht mehrere Konklusionen haben sollte.

Abhängigkeit und Freiheit von Prämissen

Bei der oben dargestellten Schlussfolgerung spricht man davon, dass die Konklusion <math>\mathrm{B}</math> aus den Prämissen <math>\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \ldots, \mathrm{A}_n</math> folgt. Dies bedeutet nicht, dass die Konklusion tatsächlich wahr ist oder gar immer wahr sein muss; ebenso wenig bedeutet es, dass die Konklusion ''nur'' dann wahr sein könnte, wenn die Prämissen wahr wären. Vielmehr bedeutet es lediglich, dass unter der Voraussetzung, dass alle Prämissen wahr sind, auch die Konklusion zwingend wahr ist.

In vielen logischen Systemen, so in der klassischen und , gilt das . Es sagt aus, dass es zulässig ist, eine der Prämissen in Gestalt des Vordersatzes einer ?Wenn?dann?-Konstruktion (fachsprachlich oder Konditional genannt) in die Konklusion zu verschieben, also vom Argument:

<math>\{\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \ldots, \mathrm{A}_{n}\} \vdash \mathrm{B}</math>

überzugehen zum Argument:

<math>\{\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \ldots, \mathrm{A}_{n-1}\} \vdash \mathrm{A}_n \supset \mathrm{B}</math>

Hierbei wurde die ehemalige Prämisse A_n zum Vordersatz, die ehemalige Konklusion B zum Nachsatz des Konditionals <math>\mathrm{A}_n \supset \mathrm{B}</math> (lies: ?Wenn A_n, dann B?), das die Konklusion des neuen Arguments bildet.

Auf dem Deduktionstheorem beruhen unter anderem die .

Beispiel: Anstatt aus ?Alle Menschen sind sterblich? und ?Sokrates ist ein Mensch? zu folgern: ?Sokrates ist sterblich?, kann man aus ?Alle Menschen sind sterblich? alleine folgern: ?Wenn Sokrates ein Mensch ist, dann ist er sterblich?.

Eine andere Möglichkeit, die Zahl der Prämissen zu reduzieren, ohne die Gültigkeit des Arguments zu beeinträchtigen, ergibt sich, wenn es gelingt, eine der Prämissen aus den anderen herzuleiten, wenn also gilt:

<math>\{\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \ldots, \mathrm{A}_{n-1}\} \vdash \mathrm{A}_n</math>

In diesem Fall ist die Prämisse <math>\mathrm{A}_n</math> überflüssig (fachsprachlich: abhängig) und kann ebenfalls aus der Annahmenmenge getilgt werden.

Beispiel: Gelingt es, zu beweisen, dass Sokrates ein Mensch ist, so kann aus ?Alle Menschen sind sterblich? direkt gefolgert werden ?Sokrates ist sterblich"?.

Siehe auch

Literatur

• ''. Band 7, Schwabe, Basel 1972, Sp. 1255?1256

Weblinks

Einzelnachweise

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Prämisse aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. Der Artikel kann hier bearbeitet werden.